PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TAM NÔNG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2023 - 2024
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể giao đề
(Đề thi có 02 trang)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (16 câu - 8,0 điểm)
Câu 1. Cho

;

A.

Khi đó

B.

C.

D.

Câu 2. Rút gọn

được

A.

B.

C.

D.

Câu 3. Giá trị nhỏ nhất của

là

A.

B.

Câu 4. Với

C.

là số thực thỏa mãn
B.

Câu 5. Giá trị

D.

thì giá trị

A.

D.

(

B.

Câu 6. Phương trình

bằng

C.

tại

A.

) bằng
C.

D.

có tập nghiệm là

A.

B.

Câu 7. Cho

bằng

thì

C.

D.

thỏa mãn

giá trị

A.

B.

Câu 8. Cho
A.

C.

là
D.
khi

B.

Câu 9. Cho tam giác
Độ dài

cân tại

Câu 11: Cho tam giác

đường cao

D.

trực tâm

Biết

là

A.
Câu 10. Cho hình vuông
thẳng
tại
Giá trị
A.

C.

B.
cạnh
là

C.
là điểm bất kì trên cạnh

B.
nhọn, ba đường cao

C.

D.
. Đường thẳng

cắt đường

D.
cắt nhau tại

khi đó
Toán – Trang

A.

.

B.

C.

.

Câu 12. Cho tam giác

D.

vuông tại

A.

đường cao

vuông tại

đường cao

C.

D.

Câu 14. Cho hình bình hành

A.

.

B.

lấy điểm

là trung điểm

Đường thẳng

là

Câu 15. Cho hình vuông
đối của tia

D.

là trung điểm của

. Tỉ số

là

. Khi đó
B.

tại

. Khi đó tỉ số

C.

A.

cắt đường thẳng

.

biết

B.

Câu 13. Cho tam giác

.

.

C.

là giao của
sao cho

và

.

D.

Trên đoạn thẳng

. Giá trị

.

lấy điểm

. Trên tia

là

A.
B.
C.
D.
Câu 16. Ông An gửi ngân hàng 50.000.000 đồng với lãi suất 5,5%/ năm từ ngày 10/11/2019. Đến
10/11/2023, tổng số tiền ông An thu về là (giả sử lãi suất trong các năm từ 10/11/2019 đến 10/11/2023
đều là 5,5%/ năm, số tiền gốc năm sau bằng tổng số tiền gốc và số tiền lãi năm liền trước) thì
A.
đồng.
B.
đồng.
C.
đồng.
D.
đồng.
II. PHẦN TỰ LUẬN (04 câu - 12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm

nguyên dương biết:

b) Cho

.

là các số nguyên thỏa mãn

. Chứng minh rằng:

là một số chính phương.
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình

b) Giải phương trình
Câu 3 (4,0 điểm).
Cho đoạn thẳng cố định
trung điểm
. Kẻ đường thẳng
a) Chứng minh:
b) Gọi

. Vẽ tam giác
vuông tại A, đường cao
đi qua điểm
và vuông góc với đường thẳng
. Kẻ

là tia phân giác của

là giao điểm của

và

và tam giác
là giao điểm của

,

là
,

vuông.
và

cắt

tại

.

Chứng minh
Toán – Trang

.

c) Tính giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác
Câu 4 (1,5 điểm). Cho

Tìm giá trị lớn nhất của

--------- HẾT ---------Họ và tên thí sinh:...........................................................; Số báo danh...............................
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN
Năm học: 2023 - 2024. Môn: Toán 9
I. TRẮC NGHIỆM (8,0 điểm). Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm
Câu

1

2

3

4

5

6

7

Đáp
A A B B C D C
án
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1 (3,0 điểm).
a) Tìm

8

9

A B

10
A

11
C

D

nguyên dương biết:

D

B

C

16
C

.

b) Cho
là các số nguyên thỏa mãn
là một số chính phương.
Nội dung
a) Tìm

12 13 14 15

chứng minh rằng:
Điểm

nguyên dương biết:

.
0,25
0,25

Vì

b) Cho
rằng:

nguyên dương nên
là các ước dương của 9 và

0,25
0,25
0,25
0,25

là các số nguyên thỏa mãn
là một số chính phương.

chứng minh

và
+)
+)

(loại)

0,25
0,25
0,25
0,25

Toán – Trang

0,25
Vì
0,25

.
Câu 2 (3,5 điểm).
a) Giải phương trình
b)

là một số chính phương.

Giải phương trình
Nội dung

Điểm

a)
0,25
0,25
0,25
0,25
Giải các phương trình:
0,5

b)
0,25
ĐK:

Ta có:

(*)

0,25
0,25
Toán – Trang

0,25
Dấu “=” xảy ra khi:

0,25
(2)
0,25
0,25

Dấu “=” xảy ra khi:
Từ (1) và (2):
mà VT (*)=4
Dấu “=” xảy ra khi:
Thử lại:
thỏa mãn.

0,25

Câu 3 (4,0 điểm).
Cho đoạn thẳng
. Vẽ tam giác
vuông tại A, đường cao
,
trung điểm
. Kẻ đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng
Kẻ
,
(
).
a) Chứng minh:
là tia phân giác của
và tam giác
vuông.
và
là giao điểm của
và
cắt
b) Gọi là giao điểm của
. Chứng minh rằng:
c) Tính giá trị lớn nhất của chu vi tứ giác

.

là

tại

.

E

A

O

D

K

J

I
B

H

M

C
Toán – Trang

a) Ta có:
M là trung điểm BC, tam giác ABC vuông tại A nên:

0,25
0,25
0,25
0,25

cân tại M
là tia phân giác của

.

Chứng minh được:
(1)
Xét tứ giác BDEC có DB//CE (BD, CE cùng vuông góc với DE):
M là trung điểm DE,
nên MA là đường trung bình của hình
thang BDEC.
(2)
Từ (1) và (2) nên:
vuông tại H.
b)Gọi O là giao điểm của
và
là hình chữ nhật
Dễ dàng chứng minh được:

0,25
0,25

0,25

cân tại O

0,25

(cmt)
Mà
Xét

0,25

0,25
và

:

chung
0,25
0,25
c, Theo chứng minh trên:
Chu vi tứ giác BDEC là
0,25

không đổi.
Chu vi tứ giác BDEC có giá trị lớn nhất khi
lớn nhất.

lớn nhất

0,25
0,25

Dấu “=” xảy ra khi
vuông cân.
GTLN của chu vi tứ giác BDEC là 4a khi
vuông cân.
Câu 4 (1,5 điểm). Cho

Tìm giá trị lớn nhất của:

Nội dung
(1)

Dấu = xảy ra khi
(2)

0,25
Điểm
0,25
0,25
Toán – Trang

Dấu = xảy ra khi
Dấu = xảy ra khi

(3)

0,25

Từ (1), (2), (3):
0,5
Dấu = xảy ra khi

0,25

Toán – Trang